Voraussetzungen

• statische Modellierung einer Highline (Modellierung einer Highline)

• Reduktion von DGLs höherer Ordnung auf ein System von DGLs erster Ordnung

• Umgang mit aufgeteilten Programmroutinen

Lerninhalte

• zeitliche und räumliche Diskretisierung dynamischer Systeme

• Aufstellen von Differentialgleichungssystemen

• Lösung der Systemgleichungen mit ODE Lösern

Modellierung einer Highline - Zeitliche Auflösung

Sie kennen dieses Modell einer Highline bereits aus dem Kapitel zu linearen Gleichungen. Alle wichtigen Informationen finden Sie in dem Kapitel Modellierung einer Highline, genauer Kräftebilanzierung.

Neu: Die dynamische Simulation

Anstatt einen stationären Lastfall zu betrachten und so die Gleichung zu \(S \tilde{\mathbf{z}} =\mathbf{b}\) zu vereinfachen, betrachten wir weiterhin die oben stehende Gleichung inklusive der Dämpfungsmatrix \(\mathbf{D}\). Die \(L = 50 \text{ m}\) lange Highline wird mit \(N = 100\) Elementen diskretisiert.

Nehmen Sie als Gesamtgewicht \(m_{ges} = 3.15 \text{ kg}\), als Dämpfung der Elemente \(d = 10 \,\frac{\text{Ns}}{\text{m}}\) und als Steifigkeit der Elemente \(k = 2\cdot10^4 \,\frac{\text{N}}{\text{m}}\) an.

Zur Erinnerung, das Gleichungssystem und die Matrizen sind:

\[M \ddot{\mathbf{z}} + D\dot{\mathbf{z}} + K \mathbf{z} = \mathbf{F}_{\text{ext}}, K = k \cdot S, D=d \cdot S, \]

\[\begin{split} \mathbf{z}=\left[ \begin{array}{c} \mathbf{z}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{z}_N \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{2N}, \quad \mathbf{F}_{\text{ext}} = \left[ \begin{array}{c} \mathbf{F}_{1,\text{ext}} \\ \vdots \\ \mathbf{F}_{N,\text{ext}} \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{2N}, \quad M = \left[ \begin{array}{cccc} m & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & m & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & m \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{2N \times 2N} \quad \text{und} \end{split}\]

\[\begin{split}S = \left[ \begin{array}{rrrrrrr} 2 & 0 & -1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 & \ddots & & \vdots \\ -1 & 0 & 2 & 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & -1 & 0 & 2 & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & -1 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & -1 & 0 & 2 \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{2N \times 2N}.\end{split}\]

Aufgabe 1

Lösen Sie die Differentialgleichung mit der Matlab–Routine ode15s auf einem Zeitinterval von 40 Sekunden. Als externe Kraft \(\mathbf{F}_{ext}\) soll zunächst nur die Schwerkraft auf die Highline-Knoten wirken. Verwenden Sie \(\mathbf{z}(0)=\mathbf{\dot{z}}(0)=0\) als Anfangsbedingungen. Zunächst nehmen wir \(\mathbf{F}_{ext} = \text{const.} = \mathbf{F}_g\) an.

Tipp

• Bringen Sie die DGL auf die Form

\[\begin{split}\mathbf{\dot{q}}=F(t,\mathbf{q})\text{, mit } \mathbf{q} = \left[ \begin{array}{c} \mathbf{q}_0 \\ \mathbf{q}_1 \end{array} \right] := \left[ \begin{array}{c} \mathbf{z} \\ \mathbf{\dot{z}} \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{4N}\end{split}\]

mit einer geeigneten Funktion \(F:\mathbb{R}^{4N}\to\mathbb{R}^{4N}\)

• Mit Ihrem Parameter L und den Ausgaben [t,q] aus ode15s können Sie die hinterlegte Funktion animate_highline(L,t,q) nutzen, um sich eine Animation Ihrer Simulation anzeigen zu lassen. Keine Sorge: In dieser Teilaufgabe darf die Auslenkung der Highline noch unrealistisch hoch sein.

• Holen Sie sich Inspiration aus den vorherigen Aufgaben, insbesondere aus der Simulation eines Raketenstarts.

• Sie müssen \(k\) anhand der Dehnbarkeit abhängig von der Länge Ihrer Elemente berechnen.

% space for the solution

% S = ...
% M = ...
% K = ...
% D = ...
% F = ...

% z = ...
% q = ...
% tspan = ...
% q0 = ...

%highlineode = ...

[t,q] = ode15s(highlineode,tspan,q0);

Hinweis

Die Animation kann nicht interaktiv auf dieser Seite laufen. Laden Sie sich die Dateien herunter und rechnen Sie lokal auf Ihrem Computer.

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function animate_highline(L,t,q,person_on_highline)

dt = 0.2;                % time step size for animation
Ta = min(t);           % start time
Te = max(t);           % end time

N = floor(size(q,2)/4);  % get number of mass points from q
n = 2*N;

%% animating
timestep=0;
for ti=Ta:dt:Te
    timestep = timestep + 1;
    
    %get current displacement (interp1 is too slow)
    [~,i]=min(abs(t-ti));
    qi = q(i,:);
    
    %position of mass points = initial position + displacement
    positions_x = qi(1:2:n)+L*linspace(1/(N+1),1-1/(N+1),N);
    positions_y = qi(2:2:n);
    
    % x and y values of the highline nodes
    Xvalues=[0 positions_x L];
    Yvalues=[0 positions_y 0];
    
    if nargin>3
        % positions of the pedestrians
        posx = person_on_highline.positions(ti);
        posy = interp1(Xvalues,Yvalues,posx);
        if posx < L
            posxs(timestep) = posx;
            posys(timestep) = posy;
        else
            posxs(timestep) = L;
            posys(timestep) = 0;
        end
    end
    
    %% plot the animation of the highline with pedestrians
    cla;
    hold on
    plot(Xvalues,Yvalues,'-b', 'linewidth',1.5);
    if nargin>3
        scatter(posx,posy,50,'fill');
        plot(posxs,posys,'-r', 'linewidth', 1.5);
    end
    %axis equal
    box on
    ylim([-1.5,0.1]);
    xlim([0,L]);
    title(['t = ',num2str(ti,'%1.2f'),' s'])
    xlabel('horizontal direction [m]')
    ylabel('vertical direction [m]')
    
    drawnow
end

% plot the displacement of the slackline based on the solution vector z as well as the length of the slackline L
% (the function animate_highline is provided for you, you do not need to implement this)
animate_highline(L,t,q)

Abbildung 1: So sollte die sich einschwingende Highline aussehen.

Aufgabe 2

Modifizieren Sie Ihr Skript so, dass zusätzlich zur Schwerkraft \(\mathbf{F}_g\) eine Anregung durch Wind \(\mathbf{F}_w\) sowie eine Anregung \(\mathbf{F}_p\) durch den Highliner modeliert wird, also

\[\mathbf{F}_{ext}(t) = \mathbf{F}_g + \mathbf{F}_w(t) + \mathbf{F}_p(t).\]

Simple Modelle für den Highliner und den Wind sind für Sie in wind.m und person_on_highline.m hinterlegt. Diese können Sie mit den Befehlen

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classdef person_on_highline < handle
    % person_on_highline is an object to create the excitation caused by
    % a person on a highline.
    properties
        N;                  % no. of nodes of the highline (i.e. mass points)
        L;                  % length of the highline [m]
        weight = 75;        % weight of the person
        velocity = 0.4;     % velocity of the person [m/s]
    end
    methods
        %% constructor (creates the object)
        function p = person_on_highline(N,L)
            p.N = N;
            p.L = L;
        end % constructor
        
        %% excitation function
        function F = excitation(obj,t)
            
            % allocate output vector
            F=zeros(2*obj.N,1);
            
            %length of a highline segment between two nodes
            seglen = obj.L/(obj.N+1);
            
            %position of the person
            x=obj.velocity*t;
            
            %restrict position and weight to the highline
            weight=obj.weight(x<=obj.L);
            x=x(x<=obj.L);
            
            if ~isempty(x)
            %find the two nearest nodes to the person
                N0=floor(x/seglen);
                N1=ceil(x/seglen);

                %distribute the weight of the person to the two
                %nearest nodes
                a=(x-N0*seglen)/seglen;
                if N0>0 && N0<obj.N+1
                    F(2*N0)=-(1-a)*weight*9.81;
                end
                if N1>0 && N1<obj.N+1
                    F(2*N1)=-a*weight*9.81;
                end
            end
        end %excitation function
        
        %% positions(t) returns the horizontal position of the person
        function x = positions(obj,t) %animate_highline can also be used with pedestrians.m, so the plural is kept
            
            %position of the person
            x=obj.velocity*t;
            
            %restrict position to the highline
            x=x(x<obj.L);
        end %positions
    end% methods
end

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classdef wind < handle
    % wind is an object to create the excitation caused by
    % wind on a highline.
    properties
        amplitude = 0.1;        % amplitude of the nodal forces due to wind [N]
        frequency = 5.39506;    % frequency of the nodal forces due to wind [1/s]
        weights;                % nodal weights for the force evaluation
    end
    methods
        %% constructor (creates the object)
        function w = wind(N)
            w.weights = (1-linspace(-1,1,2*N).^2)';
        end % constructor
        %% excitation function
        function F = excitation(obj,t)
            
            F=obj.amplitude*obj.weights*sin(obj.frequency*t);
            
        end %excitation function
    end% methods
end

storm = wind(N);
highliner = person_on_highline(N,L);

initialisieren. Achten Sie dazu auf die korrekte Belegung von N und L. Anschließend erhalten Sie \(\mathbf{F}_w(t)\) und \(\mathbf{F}_p(t)\) über die Ausdrücke

\(\mathbf{F}_w(t) = \)storm.excitation(t),

\(\mathbf{F}_p(t) = \)highliner.excitation(t).

Hinweis

Sollten Sie offline in Octave arbeiten, speichern Sie wind.m und person_on_highline.m in separaten Dateien.

Simulieren Sie die Highline für den Zeitraum, den die Person zur Überquerung benötigt. Erstellen Sie eine Animation mit dem Befehl animate_highline(...).

Abbildung 2: Animation nur mit Wind (mit `animate_highline(L,t,q)`).

Abbildung 3: Animation mit Wind und Person auf der Highline (mit `animate_highline(L,t,q,highliner)`).

Aufgabe 3

Modifizieren Sie Ihr Skript, sodass es die folgenden Plots erstellt:

• Ein Plot, der die Verschiebung der Mitte der Highline über die Zeit darstellt.

• Ein Plot, der die Beschleunigungen der Mitte der Highline über die Zeit darstellt.

Gibt es eine einfache Maßnahme, mit der für die gegebene Anregung \(\mathbf{F}_{ext}\) die Schwingungsamplitude der Highline verringert werden kann? Belegen Sie Ihre Antwort möglichst mit Simulationsergebnissen. Wie gut lässt sich Ihre Maßnahme in der Praxis umsetzen?

Aufgabe 4

Reale Slacklines haben eine Dehnung von etwa \(15 \,\text{%}\) bei \(15 \,\text{kN}\) und ein Gewicht von etwa \(60 \,\frac{\text{g}}{\text{m}}\) (je nach Modell).

• Wie können Sie die Dehnung in die Federsteifigkeit für variable \(L\) übertragen? Können Sie unabhängig von \(N\) die gleichen Ergebnisse erzielen?

• Probieren Sie anstelle von ode15s den ‘klassischen’ Löser ode45 aus. Warum benötigt dieser so lang und warum ist ode15s so viel performanter? Lassen Sie sich dazu Eckdaten der Löser ausgeben.

• Wirkt die Dämpfung realistisch? Lässt sich das System auch mit einer geringeren Dämpfung gut simulieren?