Modellbeschreibung#

Aufgabe 1 - Durchhang der Highline ohne Zusatzgewicht#

Lösen Sie das Gleichungssystem $S\tilde{\mathbf{z}}=\mathbf{b}$ mit $S\in {\mathbb{R}}^{2N\times 2N}$ und $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^{2N}$ für verschiedene Werte für $N$ mit Hilfe des Backslash-Operators S\b und berechnen Sie anschließend die Verschiebung der Massepunkte $\mathbf{z}$. Erzeugen Sie $S$ dazu im Sparse-Matrix-Format, wie in der vorherigen Übung beschrieben.

function handle = plot_highline(z, L)
    % plots the highline according to the (x,y)-coordinates stored in the flat
    % vector z = [x1,y1, x2, y2, x3, y3, ...] and the length L of the highline.

    N = length(z)/2;

    if N - floor(N) > 1e-15
        error("The length of the input vector z must be divisble by 2!");
    end

    positions_x = z(1:2:end)' + L*linspace(1/(N+1), 1 - 1/(N+1), N);
    positions_y = z(2:2:end)';

    positions_x = [0 positions_x L];
    positions_y = [0 positions_y 0];

    handle = plot(positions_x, positions_y);

    xlabel('x [m]')
    ylabel('y [m]')
    title('highline displacement')

end

% space for the solution

% S = ...
% b = ...


% z = ...

% plot the displacement of the slackline based on the solution vector z as well as the length of the slackline L
% (the function plot_highline is provided for you, you do not need to implement this)
plot_highline(z, L)

% uncomment the following line to have equal spacing along the x- and y-axis
%axis equal

• Wie stark hängt die Highline an der tiefsten Stelle durch?

• Wie hoch muss die Auflösung $N$ Ihrer Ansicht nach mindestens sein, um dem Ergebnis vertrauen zu können? Begründen Sie Ihre Antwort mit konkreten Zahlen!

Aufgabe 2 - Vergleich iterativer Gleichungssystemlöser#

Ab einer bestimmten Größe des Gleichungssystems sind iterative Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystem besser geeignet als direkte Lösungsverfahren wie das LU-Verfahren.

Prominente Vertreter iterativer Verfahren für lineare Gleichungssysteme sind das konjugierte Gradientenverfahren (Matlab: cgs), das Minres-Verfahren (Matlab: minres) sowie das BiCGstab-Verfahren (Matlab: bicgstab).

Die Konvergenzgeschwindigkeit der iterativen Verfahren lässt sich durch Vorkonditionierung, z.B. mittels unvollständiger LU-Zerlegung, verbessern. Für das BiCGstab-Verfahren sieht der Befehl so aus:

% construct preconditioner 
option.thresh = 0.01;
[L,U,P] = ilu(S,option);

% calculate solution using preconditioned bicgstab
zt = bicgstab(S,P*b,[],maxit,L,U);

Vergleichen Sie die zur Lösung des linearen Gleichungssystems $S\tilde{\mathbf{z}}=\mathbf{b}$ benötigte Rechenzeit des klassischen LU-Verfahrens

[L, U, P] = lu(S);
y  = L\P*b;
zt = U\y; 

mit denen der drei iterativen Verfahren, jeweils mit und ohne Vorkonditionierung und für unterschiedliche $N$. Verwenden Sie das Speicherformat für dünnbesetzte Matrizen. Erstellen Sie zwei Tabellen, in denen Sie jeweils die benötigte Rechenzeit bzw. das Residuum res = max(abs(b-S*zt)) eintragen:

• Ab welcher Auflösung $N$ ist das Schnellste der sechs iterativen Verfahren schneller als das klassische LU-Verfahren?

% space for the solution

Aufgabe 3 - Simulation der Slacklinerin#

In einer sogenannten quasistatischen Simulation wird ein zeitabhängiger Prozess so simuliert, dass in jedem Zeitschritt ein stationärer Zustand berechnet wird. So wird die Dynamik (z.B. Oszillation der Slackline) vernachlässigt, was die Berechnung deutlich vereinfacht. Schließlich muss keine Differentialgleichung gelöst werden, es reicht eine Abfolge von linearen Gleichungssystemen zu lösen.

Simulieren Sie, wie eine Slacklinerin die Highline von links nach rechts traversiert. Berechnen Sie dazu die statische Verschiebung der Slackline für unterschiedliche Positionen der Slacklinerin entlang der Highline. Gehen Sie von einem Gewicht von 70 kg aus.

• Treffen Sie eine angemessene Wahl für

  • die räumliche Diskretisierung $N$ der Slackline, sowie der Schrittweite der Slacklinerin;

  • das Lösungsverfahren für das lineare Gleichungssystem;

  • das Speicherformat der Matrix

  und begründen Sie Ihre Antwort.

• Plotten Sie die Kurve, die von den Füßen der Slacklinerin durchlaufen wird (Rote Linie in der Animation in Abbildung 2). Wie stark hängt die Slackline am tiefsten Punkt durch?

% space for the solution